Доведіть що тричлен y=x2+5x+16 при будь якому цілому х не ділиться на 169

10-11 класс

Kapa135 29 апр. 2014 г., 15:08:27 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Mother13102004

29 апр. 2014 г., 16:09:16 (10 лет назад)

Пусть существует какое-нибудь целое $x_0$ при котором выражение делится на 169,тогда оно представимо в виде

$x_0^2+5x_0+16=169*n$ где n-натуральное число(натуральное потому,что y(x) принимает только положительные значения,так как дискриминант выражения отрицательный и любая подстановка в выражение определяет его знак)

Тогда решением уравнения

$x_0^2+5x_0+16-169*n=0$

будут корни

$x_0_1=\frac{-5+\sqrt{25-64+676n}}{2}$

$x_0_2=\frac{-5-\sqrt{25-64+676n}}{2}$

По условию задачи $x_0$ целое число,значит $\sqrt{25-64+676n}$ не может быть иррациональным числом

Рассмотрим подкоренное выражение: 25-64+676n=-39+676n=13(52n-3)

Для того,чтобы избавиться от иррациональности выражение 52n-3 должно быть представимо в виде:

$52n-3=13^{2k-1}$

где k любое натуральное число,тогда под корнем получится выражение вида:

$13*13^{2k-1}=13^{2k}$

и раскрыв корень получим натуральное число $13^k$

Решим уравнение:

$52n-3=13^{2k-1}$

$4n-\frac{3}{13}=13^{2k-2}$

$4n=\frac{3}{13}+13^{2k-2}$

Из последней записи очевидно,что число 4n равно сумме натурального числа и рациональной дроби,то есть рациональному числу,а это противоречит условию,что

n-натуральное.

Исходя из этого противоречия следует,что исходное выражение не делится на 169 ни при каких целых x.

PS.Еще и тут пкт срублю:D

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить