сервис вопросов и ответовДоказать методом математической индукции справедливость следующих равенств: 1/1*5+1/5*9+...+1/(4n-3)(4n+1)=n/4n+1
10-11 класс|
|
Regina17
01 авг. 2013 г., 21:34:21 (10 лет назад)
Fusioc
02 авг. 2013 г., 0:08:21 (10 лет назад)
Шаг 1 (базис индукции).
Пусть n=1. Тогда левая часть доказываемого равенства 1/(1*5)=1/5, правая часть 1/(4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо.
Пусть 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))=k/(4k+1) при n=k.
Шаг 2 (индуктивный переход).
Пусть n=k+1. Тогда 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=
=k/(4k+1)+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=k/(4k+1)+1/((4k+4-3)(4k+4+1))=
=k/(4k+1)+1/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+5)+1)/((4k+1)(4k+5))=(4k^2+5k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=(4k^2+k+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+1)+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=((4k+1)(k+1))/((4k+1)(4k+4+1))=(k+1)/(4(k+1)+1)
Следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.
Ответить
Другие вопросы из категории
Читайте также
Дана система линейных уравнений. Доказать её совместимость и решить след. способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного
исчисления
3) методом Крамера
Задача 6. В доме живут A, его жена B и трое их детей C, D, E, при этом
справедливы следующие утверждения:
1) Если A смотрит телевизор, то и B смотрит телевизор.
2) Хотя бы один из D и E смотрит телевизор.
3) Ровно один из B и C смотрит телевизор.
4) C и D либо оба смотрят, либо оба не смотрят телевизор.
5) Если E смотрит телевизор, то A и D тоже смотрят телевизор.
Кто смотрит и кто не смотрит телевизор?
Вы находитесь на странице вопроса "Доказать методом математической индукции справедливость следующих равенств: 1/1*5+1/5*9+...+1/(4n-3)(4n+1)=n/4n+1", категории "математика". Данный вопрос относится к разделу "10-11" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "математика". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.