Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC угол B=90

+ 0 -

Vladka2004603

01 февр. 2014 г., 9:06:38 (10 лет назад)

Чертеж во вложении.
1. Проведем через вершину С прямую, параллельную катету АВ. Пусть F - точка пересечения этой прямой с продолжением медианы АМ за точку М.
2. ∆АДО и ∆ОСF подобны по двум углам (отмечены дугами). Отсюда равенство:

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника

Пусть t - коэффициент пропорциональности. АС=5t, BC=4t.
По теореме Пифагора в ∆АВС 

Отсюда следует, что стороны ∆АВС относятся как АВ:ВС:АС=3:4:5.
Обозначим теперь ∠DCB=a (альфа), тогда cos ∠ACB = cos 2a = BC/AC=4/5.
Из тригонометрических формул получим