найдите наименьшее и наибольшее значение функциии f(x)=cosx-1/3cos3x на отрезке от 0 до П

+ 0 -

Emmaasateyan20

20 янв. 2014 г., 8:34:32 (10 лет назад)

1) найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

-sin x  +  sin 3х  = 0

2) найдем корни этого уравнения  -  это критические точки функции:

sin 3x  -  sin x  =  0

2 sin x  cos 2x  =  0

a) sin x = 0                 b) cos 2x = 0

     x = pi*n                        2x = pi/2  +  pi*k

                                           x = pi/4  + (pi/2)*k

3) найдем значения х, которые входят в заданный отрезок:

n = 0;      x = 0,  входит

n = 1;      x = pi,  входит

k = 0;      x = pi/4,  входит

k = 1;      x = pi/4 + pi/2 = (3pi)/4,  входит

при других значениях n и k значения х не входят в заданный отрезок

4) найдем значение функции в каждой из этих четырех точек (подставляем вместо х в САМУ функцию, а не в ее производную):

f(0) = 1  -  1/3  * 1  =  2/3

f(pi/4) = \sqrt{2} / 2   -  1/3  * 0 =  \sqrt{2} / 2

f(3pi/4) = - \sqrt{2} / 2 - 1/3  * 0 = - \sqrt{2} / 2

f(pi) =  -1 - 1/3 * 1 = -1  1/3     [ - 4/3]

5) ясно, что наименьшим значением функции будет минус одна целая одна третья.

     а вот для того чтобы найти наибольшее значение функции, надо сравнить числа 2/3 и     \sqrt{2} / 2

приведем их к общему знаменателю и сраним числители:

4  и  3 * ( \sqrt{2})

для это загоним под корень четверку и тройку:

\sqrt{16}    и   \sqrt{18}

так как 18 > 16, то и в итоге наибольшее значение функции  \sqrt{2} / 2

Ответ: у(наим) = -1  1/3 при х = pi

            у(наиб) =  \sqrt{2} / 2  при х = pi/4