Помогите пожалуйста! Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна 40 см и перпендикулярна к образующей конуса, равной 30 см. Найди

+ 0 -

Poyty

10 июня 2013 г., 2:51:12 (10 лет назад)

В плоскости осевого сечения получается прямоугольный треугольник на основе катетов - диагонали, образующей, и гипотенузы - диаметр окружности основания.
Значит диаметр основания находится по теореме Пифагора:
D=sqrt(40^2+30^2)=50

Если достроить в плоскости сечения второй прямоугольный треугольник, продолжая обе образующие до пересечения, то обозначим длину продолжения образующей до пересечения с другой образующей через х получим по теореме Пифагора:
40^2+x^2=(30+x)^2 => x=35/3

Основываясь на подобие треугольников в сечение (с двумя сторонами параллельными образующим и третьими на основе диагонали верхнего d и нижнего основания D) можем заключить:
d/D=x/(x+30)=(35/3)/(35/3+30)=7/25 => d=7*D/25=7*50/25=14

Значит диаметр верхнего основания d=14, диаметр нижнего основания D=50
Опустим высоту на нижнее основание из точки пересечения верхнего диаметра с образующей. И получим прямоугольный треугольник на основе гипотенузы - образующая усеченного конуса, первый катет - высота усеченного конуса, второй катет равен (D/2-d/2)=25-7=18
h^2=30^2-18^2=24^2

Сечением усеченного конуса является трапеция. Ее площадь есть:
S=(D+d)*h/2=(50+14)*24/2=768 - площадь сечения

площадь верхнего основания S1=pi(d/2)^2=pi(14/2)^2=49pi
площадь нижнего основания S2=pi(D/2)^2=pi(50/2)^2=625pi
площадь боковой поверхности "отрезанного" конуса S3=pi(d/2)x=pi(14/2)(35/3)=245pi/3
площадь боковой поверхности конуса на основе диагонали D есть S4=pi(D/2)(x+30)=pi(50/2)(35/3+30)=3125pi/3

Значит площадь полной поверхности усеченного конуса будет
S=S1+S2+S4-S3=49pi+625pi+3125pi/3-245pi/3=1634pi