найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=cos^2x+sinx на отрезке [ п/3;п ]
10-11 класс
|
y' = -2cosx*sinx + cosx = 0
cosx(-2sinx + 1) = 0
cosx = 0 x = π/2 + πk, k ∈ Z
-2sinx + 1 = 0 sinx = 1/2 x = (-1)^k * π/6 + πk, k ∈ Z
Найдем значения x, принадлежащие промежутку [π/3;π]
x = π/2 + πk
при k = 0 x = π/2
x = (-1)^k * π/6 + πk
при k = 1; x = 5π/6
Проверим значния ф-ии в точках π/3; π/2; 5π/6 и π
y(π/3) = cos^2(π/3) + sin(π/3) = 1/4 + √3/2 = (2√3 + 1)/4 ≈ 1,11
y(π/2) = 0 + 1 = 1
y(5π/6) = 3/4 + 1/2 = 5/4 = 1,25
y(π) = 1 + 0 = 1
yнаиб = 1,25
yнаим = 1
f(x)=cos^2(x)+sin(x)
f'(x)=-2cos(x)sin(x)+cos(x)
f'(x)=0
-2cos(x)sin(x)+cos(x)=0
cos(x)*(1-2sin(x))=0
1) cos(x)=0 => x=pi/2 + pi*n
2) 1-2sin(x)=0 => sin(x)=1/2 => x=(-1)^n*pi/6 +pi*n
Методов интервалов определяем, что точки вида x=pi/2 + pi*n- это точки min, а точки вида x=(-1)^n*pi/6 +pi*n - точки max
Отберем точки на отрезке [pi/3; pi], имеем
-pi/6 +pi - max
pi/2 - min
Другие вопросы из категории
Читайте также
1) найти наибольшее значение функции: у=2х²-15х²+24х+3 на отрезке [2;3]
2) найти наименьшее значение функции: у=2х³+3х²+2 на отрезке [-2;1]
3) найти наименьшее значение функции: у= -х³+3х²+4 на отрезке [-3;3]
4) найти наибольшее значение функции: у=х³-2х²+х-3 на отрезке [1/2;2]
наименьшего значений функции: y=x^4-2x^2-6 на отрезке [-2;2]. Буду благодарен,если напишите ход решения.