Помогите решить уравнение с параметром а!!! (2х-1)/(х-а)+2х/а=(ах-2)/(а^2-ах)

+ 0 -

Дикося25

30 марта 2017 г., 1:01:29 (7 лет назад)

Решить уравнение с параметром - это значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество корней.

(2x-1)/(x-a)+2x/a=(ax-2)/(a²-ax)

Преобразуем данное дробно-рациональное уравнение.

(2x-1)/(x-a) + 2x/a - (ax-2)/(a²-ax) =0

(2x-1)/(x-a) + 2x/a - (ax-2)/(a(a-x)) =0

(2x-1)/(x-a) + 2x/a + (ax-2)/(a(x-a)) =0

Приведем дроби к общему знаменателю a(x-a):

(a(2x-1) + 2x(x-a) + ax-2)/(a(x-a)) = 0

(2xa - a + 2x² - 2xa +ax - 2)/(a(x-a)) =0

(2x² + ax - a - 2)/(a(x-a)) = 0       (1)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю.

Но сначала наложим ограничение на значение параметра a и переменной x. Это ограничение следует из того, что знаменатель не должен обращаться в ноль.

a(x-a)≠0

a≠0       (2)

x≠a        (3)

Теперь найдем нули выражения:

2x² + ax - a - 2 = 0

D = (a+4)²

x₁,₂= (-a±√(a+4)²)/4 = (-a±|a+4|)/4

x₁=(-a+a+4)/4=1

x₂=(-a-a-4)/4=-(a+2)/2

Нйденные значения переменной x удовлетворяют (3).

Можно проверить найденные корни. Если x₁=1 и x₂=-(a+2)/2 подставить в дробь (1), то дробь обращается в ноль. Т.е. корни найдены верно. 

x₁=1 входит в x₂=-(a+2)/2 при a=-4.

Ответ: x=-(a+2)/2, a≠0.