решить задачу коши y''-2y'+y=sinx; y(0)=0 , y'(0)=1
10-11 класс
|
Решение: Решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
y''-2y'+y=0 (*)
Пишем характеристическое уравнение t^2-t-1=0, решаем его:
D=1^2+4*1=5
t1=(1+корень(5)) \2
t2=(1-корень(5)) \2
Характерисическое решение имеет два корня =(1+корень(5)) \2 кратности 1 и (1-корень(5)) \2 кратности 1, поэтому общее решения уравнения (*) имеет вид:
y=c1 * e^((1+корень(5)) \2)*x ) + c2* e^((1-корень(5)) \2)*x ) .
Правая часть исходного уравнения имеет вид sinx, гамма равно альфа+бэта*i=1 – (1 не есть корнем характеристического уравнения) , поэтому частное решение уравнения
y''-2y'+y=sinx (**) ищем методом неопределенных коэффициентов в виде
y=c*cos x+d*sinx
y’=-c*sin x+ d*cos x
y’’=-c*cos x-d*sin x. Подставляем функцию и ее производные в (**), получим
-c*cos x-d*sin x-2*(-c*sin x+ d*cos x)+ c*cos x+d*sinx= sinx, или после приведения подобных членов:
2с*sin x-2d*cos x=sin x. Приравниваем соответствующие коэффициенты получаем систему:
2с=1
-2d=0
Откуда c=1\2,d=0.
Таким образом частное решение имеет вид:
y=1\2*cos x.
Общее решение исходного уравенения имеет вид y=c1 * e^((1+корень(5)) \2)*x ) + c2* e^((1-корень(5)) \2)*x )+ 1\2*cos x.
(производная равна y'=c1*((1+корень(5)) \2) * e^((1+корень(5)) \2)*x ) + c2*((1-корень(5)) \2)* e^((1-корень(5)) \2)*x )-1\2*sin x.)
Используя условия y(0)=0 , y'(0)=1, щем решение задачи Коши:
0=с1* e^((1+корень(5)) \2)*0 ) + c2* e^((1-корень(5)) \2)*0 )+ 1\2*cos 0=с1+с2+1\2.
1= c1*((1+корень(5)) \2) * e^((1+корень(5)) \2)*0 ) + c2*((1-корень(5)) \2)* e^((1-корень(5)) \2)*0 )-1\2*sin 0= c1*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2).
0= с1+с2+1\2.
1= c1*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2).
c1=-1\2-c2
1=(-1\2-c2)*((1+корень(5)) \2)+ c2*((1-корень(5)) \2)= (-1-корень(5)) \4+c2*((-1-корень(5)) \2)+(1-корень(5)) \2)= (-1-корень(5)) \4-c2*корень(5).
c2=(-5-5*корень(5))\4*корень(5)\5=(-1-корень(5))\4
с1=-1\2-c2=(-1+корень(5))\20. Таким образом решением задачи Коши есть функция
y= ((-1+корень(5))\4) * e^((1-корень(5)) \2)*x ) + (-1-корень(5))\4)* e^((1-корень(5)) \2)*x )
+ 1\2*cos x.
Ответ: y= ((-1+корень(5))\4) * e^((1-корень(5)) \2)*x ) + (-1-корень(5))\4)* e^((1-корень(5)) \2)*x )
+ 1\2*cos x.
Другие вопросы из категории
Читайте также
оказалось 8 жучков и паучков. Сколько в коробке жучков и сколько паучков, если у всех жучков и паучков 54 ножки и, как известно, у жучка 6 ног, а у паучка -8 ног?»
- опишите, как вы организуете деятельность учащихся на уроке, решая данную задачу;
- как вы организуете работу с детьми, которые не смогут самостоятельно справиться с решением задачи?;
- какие методические подходы можно рассматриать к формированию умения решать задачи.
получится из всей ткани? Решил задачу двумя способами. Пожалуйста условие и решение. Спасибо.
НА 20 СМ ДЛИННЕЕ, ЧЕМ ОБЕЗЬЯНЫ. НА СКОЛЬКО САНТИМЕТРОВ ШАГ УТКИ КОРОЧЕ ШАГА СЛОНА? РЕШИ ЗАДАЧУ ДВУМЯ СПОСОБАМИ!!! ПЕРВЫМ СПОСОБОМ РЕШИЛА А ВТОРОЙ НЕ МОГУ, НУЖНО ВМЕСТЕ С УСЛОВИЕМ РЕШЕНИЕ!
расстояние между городами, если поезда встретились через 5 часов. Решил задачу 2-мя способами!!!
У кота Матроскина и Шарика в доме
осталась только одна свободная полка. Матроскин все свободное место в доме
хочет заставить бидонами с молоком, а Шарик хочет поставить на свободное место
фотографии животным, которые ему удалось сделать на фотоохоте. Место один бидон
и одна фотография занимают на полке одинаково. Матросин и Шарик решили, что они
будут решать задачи по спортивному программированию и тот, кто быстрее решит задачу,
тот и поставит на свободное место то, что он хочет. Всего на полке 20 свободных
мест. В первый день Шарик решил 3 задачи быстрее, а Матроскин 5. Во второй
Шарик первым решил 7 задач, а Матроскин был в огороде занят и успел решить
быстрее Шарика только 2. Сколько еще задач нужно решить Шарику и Матроскину,
чтобы свободная полка была заставлена к приезду дяди Федора, который приезжает
на четвертый день после начала соревнований между Шариком и Матроскиным?