Решите уравнение arcsin(2x)+arcsin(x)=π/3 .

+ 0 -

Kurnosovaeliza

25 сент. 2013 г., 1:54:17 (10 лет назад)

arcsin(2x)+arcsin(x)=π/3

+ 0 -

45376856

25 сент. 2013 г., 3:51:43 (10 лет назад)

arcsin(2x)+arcsin(x)=pi/3
Заменим :  arcsin(2x)=a    arcsin(x)=b
Откуда верно  что:
sin(a)=2sin(b)
a+b=pi/3
a=(pi/3-b)
2*sinb=sin(pi/3-b)
2sinb=√3/2 *cosb-1/2*sin(b)
4sinb=√3cosb-sinb
5sinb=√3*cosb
25sin^2b=3cos^2b
25sin^2b=3-3sin^2b
28sin^2 b=3
sin^2 b=x^2
28x^2=3
x=+-sqrt(3/28)
После  таких сложных  преобразований  мы могли преобрести лишние решения.
Очевидно что -sqrt(3/28) не  подходит   тк сумма арксинусов отрицательных  углов отрицательна.
Но  очевидно x=sqrt(3/28)  решение (это даже  можно проверить  на калькуляторе)
Покажем теперь что  других решений  быть не может:
Возьмем функцию:
y=arcsin(x)+arcsin(2x)-pi/3 Это  функция монотонна возрастающая,а тогда возможно лишь 1  решение.(тк  сумма   2 монотонно  возрастающих функций  монотонно  возрастающая функция)
Ответ:x=√(3/28)