ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ПРИМЕР ПО МАТЕМАТИКЕ

10-11 класс

тема числовые ряды. признаки сходимости

Прикрепленные изображения

Mariya122014 24 мая 2013 г., 14:07:58 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Belvika2000

24 мая 2013 г., 14:42:32 (10 лет назад)

Первым делом проверяем условие $\forall n\in\mathbb{N} \ a_n \geq 0$
Смысл проверки в том, что для рядов с непостоянным знаком у нас есть только признак Вейерштрасса и признак Абеля, а значит - отпадают признаки неравенства, Даламбера,радикала, интеграла, $|\sum_{n=0}^{\infty} a_n|<\infty \Leftrightarrow \ |\sum_{n=0}^{\infty} 2^na_{2^n}|<\infty$ и т.д...

В данном случае ряд знак не меняет. Применяем радикальный признак:
$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}$
В данном случае последовательность сходится, значит $\liminf=\limsup=\lim$
Получаем: $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}<1$
Следовательно - ряд сходится.
Напоминаю радикальный признак:
$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=q\\
if \ q<1 \Rightarrow |\sum a_n|<\infty \\
if \ q>1 \Rightarrow |\sum a_n|=\infty \\
if q=1 \Rightarrow ?$

Ещё один способ - признак Даламбера. Он облегчает подсчёт предела последовательности, но если $\liminf a_n<0 \ \land \ \limsup a_n>0$ - ответа не даст. Потому применяется, в основном, если у последовательности есть предел по Коши.
Признак Даламбера:
$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1}{2}$
Условия схождения у Даламбера такие-же, как у радикального признака, потому повторно писать не буду.

Вроде всё, если что не ясно - пиши.

P.S. Архи-важная вещь по признаку Даламбера:
$\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \Rightarrow|\sum_{n=0}^\infty a_n|=\infty \\
\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \Rightarrow|\sum_{n=0}^\infty a_n|<\infty \\
(\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \ or \ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \ means \ nothing\\ \\$

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Лизок12345

24 мая 2013 г., 17:19:29 (10 лет назад)

Что решать? Найти сумму n членов? Найти предел последовательности?

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

LenoRochka

24 мая 2013 г., 17:55:00 (10 лет назад)

Комментарий удален

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Yаsu

24 мая 2013 г., 19:07:03 (10 лет назад)

Комментарий удален

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить

+ 0 -

Oleg91

24 мая 2013 г., 20:30:15 (10 лет назад)

Другое дело :) Ряд не-отрицательный, значит можно применить радикальный признак Коши. Предел радикала больше единицы - ряд расходится. Нужен нормальный ответ, или дальше сам справишься?

Хороший ответ

0 Жалоба Ответить