Найти экстремумы функции: z=2x^2+20 y^2+4xy+16y-7

10-11 класс

Den0133 30 сент. 2014 г., 4:52:45 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Эйс929

30 сент. 2014 г., 6:24:35 (9 лет назад)

Необходимое условие экстремума: $\frac{\vartheta z}{\vartheta x},\frac{\vartheta z}{\vartheta y}\in \{0,\phi\}$
$\frac{\vartheta z}{\vartheta x}=4x+4y \\
\frac{\vartheta z}{\vartheta y}=40y+4x+16 \\
\forall(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \frac{\vartheta z}{\vartheta x},\frac{\vartheta z}{\vartheta y} \neq \phi \\
\frac{\vartheta z}{\vartheta x}=0 \ <=> \ 4x+4y=0 \\ 
\frac{\vartheta z}{\vartheta y}=0 \ <=> \ 40y+4x+16=0 \\
 \left \{ {{4x+4y=0} \atop {4x+40y+16=0}} \right. \ => \ 36y+16=0 \ => \ y=-\frac{4}{9} \ => \ (x,y)=(\frac{4}{9},-\frac{4}{9})$

Проверка на пустое множество обязательна: возможен вариант, когда экстремум приходится на точку устранимого разрыва, (например:
$f(x)= \left \{ {{x^2 \ \ \ \forall x \neq 0} \atop {-1 \ \ \ x=0}} \right.$ ) или на точку, в которой функция не дифференциируема (например: $f(x)=|x|$ ).