Нужен коротенький доклад по математике на тему. Комплексные числа

+ 0 -

KoKs99

14 авг. 2013 г., 16:01:44 (10 лет назад)

[S1] ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной
операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это,
однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в
математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным
правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из
отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему
квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для
решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет
три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из
отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали
употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы
приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым
числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую
интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый
многочлен имеет хотя бы один действительный корень.
1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических
уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из
важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми –
одна из главных причин расширения понятия числа.
Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно.
Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится
вводить отрицательные числа и нуль.
На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой
степени, т.е. уравнения вида A·X+B=0 (A
0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь
рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X
3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин
введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют
множество действительных чисел.
Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое
алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными
коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней.
Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять
множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа
вместе с действительными числами образуют множество, которое называют
множеством комплексных чисел.
Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать,
что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет корень.
Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i
– это комплексное число, такое, что i 2= –1.
Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения
комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными
числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение
A+B·i можно считать записью комплексного числа в общем виде.
Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A+B·
i.