Помогите с решением! (вложение)

+ 0 -

Olyakristi

29 дек. 2014 г., 0:35:33 (9 лет назад)

Функция y=2(x^2+3)/(x^2-2x+5)
наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3;3]
Проихзводная
 y' = [4x(x^2-2x+5)-2(x^2+3)(2x-2)]/(x^2-2x+5)^2 =
= [-4x^3-8x+20x-2(2x^3-2x^2+6x-6)]/(x^2-2x+5)^2
= (-4x^2+8x+12)/(x^2-2x+5)^2 = -4(x^2-2x+3)/(x^2-2x+5)^2
Находим критические точки (экстремумы)
y' = 0           -4(x^2-2x-3)/(x^2-2x+5)^2  =0
     x^2-2x-3 =0
      D=4+12 =16
  x1 = (2-4)/2 = -1       x2 = (2+4)/2 = 3
Знаки производной на числовой оси
            -          0         +         0        -
-------------------!-----------------!---------------
                       -1                    3
В точке х = -1 имеет локальный минимум
у(-1) = 2((-1)^2+3)/((-1)^2-2(-1)+5) =8/4 = 2
В точке х = 3 имеет локальный максимум
y(3) =2(3^2+3)/(3^2-2*3+5) = 2*12/8 = 24/8 =3
На границе отрезка в точке х = -3
y(-3) = 2((-3)^2+3)/((-3)^2-2(-3)+5) =2*12/20 = 24/20 =1,2

Поэтому наибольшее значение функция имеет в точке х=3
у(3) = 3
а наименьшее в точке х =-1  у(-1) = 2