доказать что при любом натуральном n выражение (n^5-n)...10

+ 0 -

Angela1111

26 мая 2014 г., 15:00:35 (10 лет назад)

Сначала разложим на множители выражение:
n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
Так как (n-1),n,(n+1) - числа, следующие по порядку, то одно из них будет обязательно кратно 2. Число (n-1)n(n+1)(n^2+1) не будет кратно 5, только, если n=5k+2 или n=5k+3.
В остальных случаях (когда n = 5k, n = 5k+1, n = 5k+4) один из сомножителей n-1, n или n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 2*5=10.
Теперь рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3:

1)n=5k+2:

2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1) - кратно 5, значит все выражение кратно 10.

2)n=5n+3:

n^2+1=(5k+3)=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2) - кратно 5, значит все выражение кратно 10.