(15cosx+8sinx)(32sinx-17cos2x-14)=655

+ 0 -

Alesha22800

10 янв. 2015 г., 17:56:30 (9 лет назад)

Второй сомножитель 32sinx−17cos2x−14 выражается через синус, с учётом формулы косинуса двойного угла. Получается 34t2+32t−31, где t=sinx. Эту функцию надо исследовать на экстремум на отрезке [−1;1]. Наибольшее значение там принимается в точке x=1, а наименьшее -- в вершине параболы, то есть при t=−8/17. Вычисления показывают, что функция изменяется в пределах от −655/17 до 35. Модуль первого из чисел больше (это дальше понадобится). Теперь рассмотрим первый сомножитель. Его можно представить в виде 17(cosx⋅1517+sinx⋅817). Множитель (17 здесь был выбран из тех соображений, что 152+82=172.) При этом сумма квадратов чисел 15/17 и 8/17 равна единице, и точка с координатами (15/17;8/17) лежит на единичной окружности. Поэтому имеется такой угол, для которого косинус и синус равны соответственно первой и второй координате. Пусть cosx0=15/17 и sinx0=8/17. Тогда первый сомножитель принимает вид 17(cosxcosx0+sinxsinx0)=17cos(x−x0). Из этого представления видно, что первый сомножитель меняется от −17 до 17. Подведём итоги: модуль первого сомножителя не превосходит 17; модуль второго сомножителя не превосходит 655/17. Следовательно, модуль произведения не больше 655 (числа в правой части), причём равенство возможно только при t=sinx=−8/17, а первый сомножитель должен быть равен −17. Это значит, что cosx=−15/17. Теперь ответ выражается через обратные тригонометрические функции. Получается x=arcsin(8/17)+(2k+1)π, где k∈Z.