Найдите количество корней уравнения cosx= - |x/(8PI)|

10-11 класс

PI - это число пи.
Это задание из ЦТ 2014

HightSlow 18 сент. 2014 г., 8:54:21 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Nadyushashiban

18 сент. 2014 г., 10:43:55 (9 лет назад)

Удобнее всего решать графически, т.к. функции стандартные, графики легко нарисовать, особая точность в рисовании графиков не нужна (т.к. требуется найти количество решений, а не их значения).
Пусть функция слева: $y_{1}=cosx$ , функция справа: $y_{2}=-|\frac{x}{8 \pi}|$ .
Вначале порассуждаем над графиками и свойствами функций.
1) Косинус - периодическая четная функция, период равен 2π.
2) y2 - это прямая, но за счет модуля "ломаная". Для того, чтобы построить эту функцию, необходимо вначале построить график функции $y= \frac{x}{8 \pi} \\*$ , а затем ту часть, что расположена выше оси Ох, зеркально отобразить вниз (относительно Ох). Получится перевернутая "галочка" с вершиной в точке (0;0).
3) Теперь найдем интервал, на котором будут пересечения двух графиков. Известно, что $-1 \leq cosx \leq 1$ , значит такие же значения должна принимать и другая функция, т.е.: $-1 \leq -|\frac{x}{8 \pi}| \leq 1$
$-8 \pi \leq x \leq 8 \pi$
4) 8π для косинуса - это четыре периода. Значит, вправо от оси Оу будет 4 промежутка возрастания и 4 промежутка убывания. Аналогично влево от оси Оу. Итого: 16 промежутков ("кусочков" функции). Соответственно, прямая пересечет график косинуса в 16 точках.
Убедимся в полученном ответе, начертив графики функций: косинус - стандартная функция, ее общий вид необходимо знать; функция по модулю - уже расписано, как начертить. Оба графика чертим в одной координатной плоскости!

Ответ: 16 решений