Пожалуйста, помогите исследовать функцию и построить график!

10-11 класс

Прикрепленные изображения

дима2018 12 окт. 2013 г., 19:24:20 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Lenteterina

12 окт. 2013 г., 21:54:08 (10 лет назад)

Поскольку при х<0 рациональная степень числа х не определена, область определения D(y) = [0; +∞). Т.е. исследуем функцию и строим график только для х≥0.
Найдем точки пересечения с осями.
х=0 или 1-х=0
Х1 = 0; Х2 = 1
График пересекает ось Ох в точках (0; 0) и (1; 0).
Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную
$y'= \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}(1-x)-x^{\frac{2}{3}}= \frac{2(1-x)}{ 3x^{1/3} } -x^{2/3}= \frac{2-2x-3x}{3x^{1/3} } = \frac{2-5x}{3 \sqrt[3]{x} }$
y' = 0 при х = 0,4
y' не существует при х = 0
при х∈[0; 0,4] функция возрастает, при х∈[0,4; +∞) функция убывает
х=0,4 - точка максимума
$y(0,4)= (\frac{2}{5})^{2/3}(1- \frac{2}{5})= \frac{3}{5} \sqrt[3]{ \frac{4}{25}} =0,6 \sqrt[3]{0,16}$
y(0,4) ≈ 0,33 - максимальное значение функции
Для определения точек перегиба и интервалов выпуклости найдем вторую производную:
$y''= \frac{1}{3}(x^{- \frac{1}{3} }*(2-5x))=\frac{1}{3}(- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3} }*(2-5x)-5x^{- \frac{1}{3} }))=\\= \frac{1}{3}(- \frac{2-5x}{3x \sqrt[3]{x}}- \frac{5}{\sqrt[3]{x}})= - \frac{2-5x+15x}{9x \sqrt[3]{x}} =- \frac{2+10x}{9x \sqrt[3]{x}}$
y''=0, когда 2+10х=0, но это уравнение не имеет решения на области определения нашей функции (х≥0) => точек перегиба нет.
При x>0, y''>0 => функция выпукла вверх на всей области определения.
Найдем асимптоты.
y=kx+b - общий вид наклонных асимптот
$k= \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}= \lim_{x \to +\infty} x^ {\frac{2}{3}-1 }(1-x)=\\=\lim_{x \to +\infty} \frac{1-x}{x^{ \frac{1}{3} }}=\lim_{x \to +\infty} (-x^{2/3})=-\infty$
Т.е. при х -> +∞, y неограниченно уменьшается, но наклонных асимптот нет.
Данного исследования достаточно для построения графика (см. рисунок)