Dy/dx+y/x=1/(1-x^2). Подскажите, пожалуйста, как решить?
10-11 класс
|
(y(x))/x+( dy(x))/( dx) = 1/(1-x^2):
Перепишем в таком виде:
( dy(x))/( dx)+(y(x))/x = -1/(x^2-1)
Положим mu(x) = e^( integral 1/x dx) = x.
Умножим обе части на mu(x):
x ( dy(x))/( dx)+y(x) = -x/(x^2-1)
заменим 1 = ( d)/( dx)(x):
x ( dy(x))/( dx)+( d)/( dx)(x) y(x) = -x/(x^2-1)
Применим g ( df)/( dx)+f ( dg)/( dx) = ( d)/( dx)(f g) к левой части:
( d)/( dx)(x y(x)) = -x/(x^2-1)
Проинтегрируем обе части по x:
integral ( d)/( dx)(x y(x)) dx = integral -x/(x^2-1) dx
Получаем:
x y(x) = -1/2 log(x^2-1)+c_1, где c_1 произвольная константа.
Разделим обе части на mu(x) = x:
Ответ: |
| y(x) = (-1/2 log(x^2-1)+c_1)/x
Заметим, что это Линейное Дифференциальное Уравнение первого порядка(ЛДУ1),
запишем в общем виде:
То есть y и y' присутствуют линейно.
Решаем ЛДУ1 методом вариации произвольной постоянной:
Считаем, что b(x)=0, тогда получаем:
Получили решение однородного уравнения
Пусть c=c(x), тогда общее неоднородное решение будет равно:
Подставляем в исходное уравнение и решаем:
Осталось посчитать:
Получили решение, ЛДУ1
Другие вопросы из категории
меньше, Сколько белых грибов нашли грибники?? РЕШИТЕ ПЛИИИЗ!!
Читайте также
2) составьте уравнения кривой , проходящей через точку М (1:3) , и имеющий коэффициент dy/dx +_= 1/4x в любой точке касания