Доказать методом математической индукции справедливость следующих равенств: 1/1*5+1/5*9+...+1/(4n-3)(4n+1)=n/4n+1
10-11 класс
|
Шаг 1 (базис индукции).
Пусть n=1. Тогда левая часть доказываемого равенства 1/(1*5)=1/5, правая часть 1/(4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо.
Пусть 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))=k/(4k+1) при n=k.
Шаг 2 (индуктивный переход).
Пусть n=k+1. Тогда 1/(1*5)+1/(5*9)+...+1/((4k-3)(4k+1))+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=
=k/(4k+1)+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=k/(4k+1)+1/((4k+4-3)(4k+4+1))=
=k/(4k+1)+1/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+5)+1)/((4k+1)(4k+5))=(4k^2+5k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=(4k^2+k+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+1)+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=
=((4k+1)(k+1))/((4k+1)(4k+4+1))=(k+1)/(4(k+1)+1)
Следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.
Другие вопросы из категории
Читайте также
исчисления
3) методом Крамера
справедливы следующие утверждения:
1) Если A смотрит телевизор, то и B смотрит телевизор.
2) Хотя бы один из D и E смотрит телевизор.
3) Ровно один из B и C смотрит телевизор.
4) C и D либо оба смотрят, либо оба не смотрят телевизор.
5) Если E смотрит телевизор, то A и D тоже смотрят телевизор.
Кто смотрит и кто не смотрит телевизор?