Задача на применение теоремы Менелая.
10-11 класс
|
Прямая KP делит сторону AB треугольника ABC в отношении AK:KB=2:1, а сторону BC - в отношении BP:PC=3:1. Медиана BB1 пересекает прямую KP в точке M. При этом площадь четырёхугольника B1MPC равна 17. Найдите площадь треугольника ABC.
Теорема Менелая (прямая KP, треугольник ABC):
AK/KB * BP/PC * CX/XA = 1
2 * 3 * CX/XA = 1
CX : XA = 1 : 6
(CX : AC = 2 : 10;
CX : AB1 : B1C = 2 : 5 : 5;
B1X : CX = (B1C + CX) : CX = (5 + 2) : 2 = 7 : 2)
Теорема Менелая (прямая KP, треугольник BB1C):
BM/MB1 * B1X/XC * CP/PB = 1
BM/MB1 * 7/2 * 1/3 = 1
BM : MB1 = 6 : 7
Теперь всё готово к собственно решению. Надо лишь вспомнить, что отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений длин сторон, составляющих этот угол.
Пусть площадь ABC = S, тогда площадь BB1C = S/2.
Площадь BMP = S/2 * (BP * BM) / (BC * BB1) = S/2 * BP/BC * BM/(BM + MB1) = S/2 * 3/4 * 6/13 = S/2 * 9/26
Площадь B1MPC = площадь BB1C - площадь BMP = S/2 * (1 - 9/26) = S/2 * 17/26 = 17S/52 = 17, откуда
S = 17 * 52/17 = 52
Другие вопросы из категории
мандаринового сока.
больше детали вытачивают за 1 час работы чем его ученик измени вопрос задачи чтобы нарисовать танк 80 поделить на 8 плюс сорок два поделить на 6
Читайте также
по знаниям сколько задач на смекалку приготовили 4классники? очень срочно пж через 10м будут проверять есть еще 4 минуты помогите
знаниям сколько задач на смекалку приготовили 4классники? очень срочно пж через 10м будут проверять
нахождение процентов от числа.Составить и решить обратную задачу на нахождение числа по его процентам
задача поезд прошел 432 км за 9 часов на сколько километров в час машинист должен увеличить скорость поезда чтоб пройти то же расстояние за 6 часов
решение уравнения.Сколько минут потратили ученики на решение задачи?На повторение пройденного материала и на решение уравнения