Дана функция f(x)=x^2-2lnx+3

+ 0 -

Vasia126

02 апр. 2015 г., 11:51:42 (9 лет назад)

Дана функция f(x)=x^2-2lnx+3
1)Найти f(e^1/2)
2)Найти интервал возрастания функции f(x)
3)Найти точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках
4)Решить уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x

Решение:
1) f(e^1/2) =((e^(1/2))^2 - 2*ln(e^(1/2)) + 3=e-2*(1/2)*ln(e) + 3 = e - 1 + 3 = e + 2 ≈ 4,72
2) Интервал возрастания функции f(x)
Функция определена для всех х принадлежащих (0;+бесконечность)
Найдем производную функции
f'(x)= (x^2-2lnx+3)' = 2x-2*(1/x) = 2x-2/x =2(x^2-1)/x
2(x^2-1)/x >0
 Так как х>0 то необходимо найти
 {x^2-1>0
 {x>0
 или
 {(x-1)(x+1)>0
 {x>0
 По методом интервалов  находим знаки производной
 
              -  0   +
       ------!----!--------
             0    1
  Функция возрастает при всех значения
 х принадлежащих промежутку (1;+ бесконечность)

 3)Точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках
 Производная меняет знак в точке х=1 с минуса(убывание) на плюс(возрастание)
 Поэтому в этой точке функция f(x) имеет минимум
 f(1)min = 1^2-2ln(1)+3 =1-2*0+3 =4
4)Решим уравнение  f(x)=g(x),где g(x)=x^2+ln^2x  
            f(x)=g(x)
   x^2-2ln(x)+3 = x^2+ln^2(x)
   ln^2(x)+2ln(x) -3=0
   Замена переменных
     y = ln(x)
     y^2+2y+3=0
     D =4 +4*3 = 16
     y1 = (-2-4)/2 =-3
     y2 = (-2+4)/2 =1
     Находим значения х
 При y1 = -3
 ln(x) =-3
 x1 = e^(-3)
 При y2=1
 ln(x)=1
 x2 = e

+ 0 -

Daryaa28

02 апр. 2015 г., 14:02:02 (9 лет назад)

(0;1) - убывает;(1;+беск) - возрастает
3) x=1 точка min; f(1)=4
4) 
lnx=t

+ 0 -

Olesy456

02 апр. 2015 г., 15:09:24 (9 лет назад)

Все большое спасибо!!!!