решить дифференциальное уравнение

+ 0 -

Dissik

25 февр. 2017 г., 18:17:57 (7 лет назад)

 Решить дифференциальное уравнение
 xy'+y =y²ln(x)
 y' +y/x =y²xln(x)
 Получили уравнение Бернулли которое приведем к линейному уравнению
 y' +y/x =y²xln(x)
 y'/y² +1/(yx) =xln(x)
 Обозначим z =y^(-1) = 1/y
 Тогда z' = -1/y²
 -z' + z/x = xln(x)
 z'- z/x = -xln(x)
 Это уравнение является линейным относительно z
Решим методом Бернулли
Полагаем что z = u*v тогда z' =u'v + uv'
u'v + uv' - uv/x = -xln(x)
u'v + u(v' -v/x) = -xln(x)
Сначала решаем уравнение
v' -v/x = 0
v' = v/x
dv/v = dx/x
ln(v) =ln(x)
v = x
Теперь решаем уравнение
u'х + u*0 = -xln(x)
u' = -ln(x)
du = -ln(x)dx
Интегрируем обе части уравнения
u = - (xln(x) - x) + C = x - xln(x) + C
Итак общее решение уравнения
z =uv = x(x - xln(x) + C) = x^2(1 - ln(x)) + Cx
Находим переменную y
y = 1/z = 1/(x^2(1 - ln(x)) + Cx)
Ответ: y =  1/(x^2(1 - ln(x)) + Cx)